"Как и когда заключить договор" - в идеале заключать договор лично вам и собственнику квартиры;
"нужно ли вносить залог заранее, чтобы квартиру не забрали другие" - а вот этого крайне желательно избежать, потому что это очень распространенный способ развода;
"и как забронировать квартиру? Можно ли другому родственнику посмотреть квартиру" - это обычно можно;
"и заключить договор от моего имени" - а вот на это скорее всего не пойдет собственник квартиры. либо, напротив, родственник должен быть опытным, чтобы его не развели, пользуясь некомпетентностью;
"нужна ли при этом нотариальная доверенность?" - повторюсь, такого варианта лучше избежать. в первую очередь с большой вероятностью от него откажется наймодатель. да и для нанимателя он таит определенные опасности;
"Либо может ли родственник заключить договор от своего имени, а потом переоформить документ к моему приезду?" - если согласится наниматель. скорее всего нет, поскольку это чесание правого уха левой пяткой.
если у вас есть на месте доверенный и опытный в этих вопросах родственник, который сможет распознать потенциальных мошенников, то он сможет от вашего имени внести небольшой аванс. с доверенностью или без - зависит от позиции нанимателя, а также (даже в первую очередь) от бюджета квартиры и от самого города (в столичных городах и в небольших райцентрах к таким вещам относятся очень по-разному).
если речь идет о крупном городе, то можно приехать, снять квартиру или хостел на двое-трое суток, и за это время лично отсмотреть все варианты и самому подписать договор. ну или перекантоваться эти 2-3 дня у тех же родственников, если есть такая возможность

Технически Ваш представитель может заключить договор найма без Вас и без доверенности. Заключается договор найма на его имя с указанием проживающих лиц. Впоследствии, после переезда заключается новый договор найма на Ваше имя.

Добрый день. Снять квартиру - это очень индивидуальный вопрос. Лучше всего приехать на несколько дней и выбрать самостоятельно. Потому что есть специфические особенности, которые для Вас важны, а для другого человека нет, поэтому даже по видео он передать их не сможет. Например, запах. Или ощущения в квартире. Или шум. Или размер ванной/душевой кабины. Удобный ли матрац. И многое другое.

Но если такой возможности нет, то можно конечно попросить родственника квартиру посмотреть. И внести задаток с тем что Вы приедете на подписание (проверьте только кому Вы вносите задаток, вносите собственнику). Или сделать удаленное подписание. Можно и чтобы по доверенности от Вашего имени подписал договор Ваш родственник. В общем при обоюдном желании договориться найти решение можно.

Лучше конечно приезжать, снимать что-то временно и при этом искать подходящий для долгосрочного найма вариант.
Если возможности приехать нет совсем, но есть кому представлять интересы (родственник, близкий человек), то можно попросить его съездить на просмотр. Для заключения договора от Вашего имени необходима нотариальная доверенность. Все остальные вопросы необходимо решать с собственником. Например, можно попросить заключить договор от имени родственника с последующим переоформлением на Вас. Также можно попросить придержать квартиру на несколько дней. Также можно заключить договор на имя родственника, но при этом договором предусмотреть, что в квартире будет проживать третье лицо. Сценариев много, но все индивидуально. Распространять их на все варианты некорректно… кто-то согласится, кто-то откажется.